Сложение алгебраических дробей

Как выполнять сложение алгебраических (рациональных) дробей?

Чтобы сложить алгебраические дроби, нужно:

1) Найти наименьший общий знаменатель этих дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби (для этого надо новый знаменатель разделить на старый).

3) Дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель.

4) Выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями

(чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же).

Примеры сложения алгебраических дробей.

$1)\frac{{4a - 3b}}{a} + \frac{{{a^2} + 3{b^2}}}{{ab}}$

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. В данном случае он равен ab.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый. ab:a=b, ab:(ab)=1.

$\frac{{4a - 3{b^{\backslash b}}}}{a} + \frac{{{a^2} + 3{b^{{2^{\backslash 1}}}}}}{{ab}} =$

$= \frac{{b(4a - 3b) + ({a^2} + 3{b^2})}}{{ab}} =$

$= \frac{{4ab - 3{b^2} + {a^2} + 3{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2} + 4ab}}{{ab}} =$

В числителе есть общий множитель a. Выносим его за скобку и сокращаем дробь на a:

$= \frac{{a(a - 4b)}}{{ab}} = \frac{{a - 4b}}{b};$

$2)\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{x - 25}}{{5x - 25}} =$

Знаменатели данных дробей — многочлены, поэтому их нужно их попытаться разложить на множители. В знаменателе первой дроби есть общий множитель x, во второй — 5. Выносим их за скобки:

$= \frac{{3x + 5}}{{x(x - 5)}} + \frac{{x - 25}}{{5(x - 5)}}$

Общий знаменатель состоит из всех входящих в знаменателе множителей и равен 5x(x-5).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый.

(Если не нравится деление, можно поступить иначе. Рассуждаем так: на что нужно умножить старый знаменатель, чтобы получить новый? Чтобы из x(x-5) получить 5x(x-5), надо первое выражение умножить на 5. Чтобы из 5(x-5) получить 5x(x-5), надо 1-е выражение умножить на x. Таким образом, дополнительный множитель к первой дроби равен 5, ко второй — x).

$\frac{{3x + {5^{\backslash 5}}}}{{x(x - 5)}} + \frac{{x - {{25}^{\backslash x}}}}{{5(x - 5)}} =$

$= \frac{{5(3x + 5) + x(x - 25)}}{{x(x - 5)}} =$

$= \frac{{15x + 25 + {x^2} - 25x}}{{x(x - 5)}} = \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{x(x - 5)}} =$

В числителе — полный квадрат разности. Сворачиваем его по формуле и сокращаем дробь на (x-5):

$= \frac{{{{(x - 5)}^2}}}{{x(x - 5)}} = \frac{{x - 5}}{x};$

$3)\frac{{m + 2}}{{m + 3}} + \frac{{1 - m}}{m}$

Знаменатель первой дроби — многочлен. На множители он не раскладывается, поэтому общий знаменатель данных дробей равен произведению знаменателей m(m+3):

$\frac{{m + {2^{\backslash m}}}}{{m + 3}} + \frac{{1 - {m^{\backslash (m + 3)}}}}{m} =$

$= \frac{{m(m + 2) + (1 - m)(m + 3)}}{{m(m + 3)}} =$

$= \frac{{{m^2} + 2m + m + 3 - {m^2} - 3m}}{{m(m + 3)}} =$

$= \frac{3}{{m(m + 3)}};$

$4)\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{1}{{4 - 2x}} =$

Многочлены, стоящие в знаменателях дробей, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, в знаменателе второй дроби — 2:

$= \frac{{{x^2}}}{{x({x^2} - 4)}} + \frac{1}{{2(2 - x)}} =$