Системы линейных неравенств

Системы линейных неравенств с одной переменной с помощью тождественных преобразований сводятся к системе из простейших неравенств.

Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.

$1)\left\{ \begin{array}{l} 7x - 12 \ge 3x - 20\\ 5 - 2x > 4x - 19 \end{array} \right.$

Чтобы решить систему, нужно решить каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 7x - 3x \ge - 20 + 12\\ - 2x - 4x > - 19 - 5 \end{array} \right.$

После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:

$\left\{ \begin{array}{l} 4x \ge - 8\_\_\_\left| {:4 > 0} \right.\\ - 6x > - 24\_\_\_\left| {:( - 6) < 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x < 4 \end{array} \right.$

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых:

sistemy-linejnyh-neravenstv

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.

Ответ: x∈[-2;1).

$2)\left\{ \begin{array}{l} \frac{{3x + 5}}{2} - 2 \ge 2x\\ (x - 2)(x + 2) - 2x < {(x - 3)^2} - 1 \end{array} \right.$

В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{3x + {5^{\backslash 1}}}}{2} - {2^{\backslash 2}} \ge 2{x^{\backslash 2}}\_\_\_\left| { \cdot 2 > 0} \right.\\ {x^2} - 4 - 2x < {x^2} - 6x + 9 - 1 \end{array} \right.$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 5 - 4 \ge 4x\\ {x^2} - 2x - {x^2} + 6x < 9 - 1 + 4 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 4x \ge 4 - 5\\ 4x < 12 \end{array} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:

$\left\{ \begin{array}{l} - x \ge - 1\_\_\_\left| {:( - 1) < 0} \right.\\ 4x < 12\_\_\_\left| {:3 > 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x \le 1\\ x < 3 \end{array} \right.$

Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом «меньше меньшего, больше большего«. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству

$x \le 1$

Отмечаем его решение на числовой прямой:

Ответ: x∈(-∞;1].

$3)\left\{ \begin{array}{l} (x + 1)({x^2} - x + 1) - x({x^2} + 4) \le 9\\ (x - 3)(x + 1) - (x + 4)(x - 4) < 3 \end{array} \right.$

Раскрываем скобки. В первом неравенстве — произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Оно равно сумме кубов этих выражений.

Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, что равно разности квадратов. Поскольку здесь перед скобками стоит знак «минус», лучше их раскрытие провести в два этапа: сначала воспользоваться формулой, а уже потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 - {x^3} - 4x \le 9\\ {x^2} + x - 3x - 3 - ({x^2} - 16) < 3 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 1 - 4x \le 9\\ {x^2} + x - 3x - 3 - {x^2} + 16 < 3 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 1 - 4x \le 9\\ 13 - 2x < 3 \end{array} \right.$

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} - 4x \le 9 - 1\\ - 2x < 3 - 13 \end{array} \right.$

Далее обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\left\{ \begin{array}{l} - 4x \le 8\_\_\_\left| {:( - 4) < 0} \right.\\ - 2x < - 10\_\_\_\left| {:( - 2) < 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x > 5 \end{array} \right.$

Оба знака «больше». Используя правило «больше большего», сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел 5, следоветельно,

$x > 5$

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ: x∈(5;∞).

Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречается не только в качестве самостоятельных заданий, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т.д., важно вовремя усвоить эту тему.

В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений либо его решением является любое число.

Добавить комментарий Отменить ответ