Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

Если

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} { \nearrow = - }\\ { \searrow = - }\\ { \nearrow = \searrow }\\ { \nearrow + \nearrow = - }\\ { \nearrow + \nearrow = \searrow }\\ { \nearrow \pm - = \searrow }\\ { \searrow + \searrow = \nearrow }\\ { \searrow + \searrow = - }\\ { \searrow \pm - = \nearrow } \end{array}} \right\} \Rightarrow$

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

$y = kx \pm b,y = - \frac{k}{x},y = - \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},$

$y = {x^3},y = {x^{2n + 1}},$

$y = {a^x}(a > 1),y = {\log _a}x(a > 1),$

$y = - {a^x}(0 < a < 1),y = - {\log _a}x(0 < a < 1),$

$y = \sqrt {kx \pm b} ,y = - \sqrt {b - kx} ,$

$y = tgx,y = arctgx,y = \arcsin x,$

$y = - ctgx,y = - arcctgx,y = - \arccos x$

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

$y = - kx \pm b,y = \frac{k}{x},y = \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},$

$y = - {x^3},y = - {x^{2n + 1}},$

$y = {a^x}(0 < a < 1),y = {\log _a}x(0 < a < 1),$

$y = - {a^x}(a > 1),y = - {\log _a}x(a > 1),$

$y = \sqrt {b - kx} ,y = - \sqrt {kx \pm b} ,$

$y = ctgx,y = arcctgx,y = \arccos x,$

$y = - tgx,y = - arctgx,y = - \arcsin x$

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

$1)5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x - 12 = 0$

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

$5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x = 12$

Функция

$f(x) = 5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x$

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

Ответ: 1.

$2)2{x^{15}} + 3x = \frac{5}{x}$

ОДЗ: x∈(-∞;0)U(0:∞).

На промежутке (-∞;0) функция

$f(x) = 2{x^{15}} + 3x$

возрастает, функция

$g(x) = \frac{5}{x}$

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

$f(x) = 2{x^{15}} + 3x$

возрастает,

$g(x) = \frac{5}{x}$

— убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

Ответ: ±1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

2 комментария

Елена:

31.03.2020 в 14:50

Добрый день!!! Вот это схематическое изображение монотонности очень интересно, но там не все понятно. Что вы подразумеваете под знаками равно и минус? И вот это: сумма убывающих_возрастающая? Буду благодарна комментариям

Ответить
- admin:
  
  31.03.2020 в 15:38
  
  Елена, «=» — знак равенства между левой и правой частями уравнения.
  Сумма убывающих функций — убывающая функция. Соответственно, одна часть уравнения — убывающая функция, а другая — возрастающая, то применима вторая теорема.
  Аналогично, сумма возрастающих функций есть возрастающая функция. Если с одной стороны — возрастающая функция, с другой — убывающая, можем применить первую теорему.
  Если к монотонно возрастающей функции прибавить число (или вычесть), то это никак не повлияет на её монотонность (это наглядно можно продемонстрировать графически: график функции y=f(x)±b получен из графика y=f(x) параллельным переносом на b единиц вверх или вниз вдоль оси Oy). Поэтому, если в одной части уравнения — монотонно возрастающая функция ± число, а в другой — монотонно убывающая функция, можем применить теорему два. И т.д.
  
  Ответить

2 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ