Решение квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратных уравнений на конкретных примерах.

В прошлый раз мы выяснили, как решать неполные квадратные уравнения различных видов.В этот раз речь пойдет о полных квадратных уравнениях.

$1)3{x^2} - 7x + 4 = 0$

Определяем коэффициенты:

$a = 3;b = - 7;c = 4$

и находим дискриминант

$D = {b^2} - 4ac = {( - 7)^2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1.$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 7) \pm \sqrt 1 }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{7 \pm 1}}{6},$

${x_1} = \frac{{7 + 1}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3};$

${x_2} = \frac{{7 - 1}}{6} = 1.$

Ответ: 1 1/3; 1.

$2){x^2} - x - 90 = 0$

$a = 1;b = - 1;c = - 90$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 90) =$

$= 1 + 360 = 361.$

Так как D>0, в уравнении — два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} =$

$= \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {361} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 19}}{2},$

${x_1} = \frac{{1 + 19}}{2} = \frac{{20}}{2} = 10;$

${x_2} = \frac{{1 - 19}}{2} = \frac{{ - 18}}{2} = - 9.$

Ответ: 10; -9.

$3)2{x^2} + 13x + 6 = 0$

$a = 2;b = 13;c = 6$

$D = {b^2} - 4ac = {13^2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 =$

$= 169 - 48 = 121.$

Дискриминант положителен, 2 корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} =$

$= \frac{{ - 13 \pm \sqrt {121} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 13 \pm 11}}{4},$

${x_1} = \frac{{ - 13 + 11}}{4} = \frac{{ - 2}}{4} = - 0,5;$

${x_2} = \frac{{ - 13 - 11}}{4} = \frac{{ - 24}}{4} = - 6.$

$4){x^2} + 2x - 5 = 0$

$a = 1;b = 2;c = - 5$

$D = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5) = 24.$

Найдём корни

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{{2 \cdot 1}} =$

Квадратный корень из 24 не извлекается, но 24 можно разложить на множители так, чтобы из одного из множителей извлечь корень: 24=4∙6

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{{2 \cdot 1}} =$

$= \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 \cdot 6} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} =$

$= \frac{{\mathop {\overline 2 }\limits^1 \cdot ( - 1 \pm \sqrt 6 )}}{{\mathop {\underline 2 }\limits_1 }} = - 1 \pm \sqrt 6 .$

Ответ: -1±√6.

$5)4{x^2} + 12x + 9 = 0$

$a = 4;b = 12;c = 9$

$D = {b^2} - 4ac = {12^2} - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0.$

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{12}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} = 1,5.$

Ответ: 1,5.

$6)2{x^2} - x + 1 = 0$

$a = 2;b = - 1;c = 1$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 =$

$= 1 - 8 = - 7 < 0.$

Так как дискриминант отрицателен, данное квадратное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

$7) - {x^2} - 9x + 22 = 0$

Если коэффициент a<0, обычно обе части уравнения делят на -1 (для удобства вычислений):

$- {x^2} - 9x + 22 = 0\_\_\_\left| {:( - 1)} \right.$

Знак каждого слагаемого изменяется на противоположный

${x^2} + 9x - 22 = 0$

$a = 1;b = 9;c = - 22$

$D = {b^2} - 4ac = {9^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 22) =$

$= 81 + 88 = 169 > 0,$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 9 \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} =$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - 9 \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 9 \pm 13}}{2},$

${x_1} = \frac{{ - 9 + 13}}{2} = \frac{4}{2} = 2,$

${x_2} = \frac{{ - 9 - 13}}{2} = \frac{{ - 22}}{2} = - 11.$

Ответ: 2; -11.

Добавить комментарий Отменить ответ