Разность кубов

В алгебре разность кубов, как и любая другая формула сокращенного умножения, является тождеством, то есть может быть использована как для перехода из левой части к правой, так и для перехода в обратном направлении.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответственно, получаем правило для разложения разности кубов на множители.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула разности кубов:

${a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})$

С помощью схемы разность кубов можно представить так:

Например,

$1){9^3} - {t^3} = (9 - t)({9^2} + 9 \cdot t + {t^2}) =$

$= (9 - t)(81 + 9t + {t^2});$

На практике, однако, условие подробно не расписывают. Значит, прежде чем применить формулу разности кубов, надо сначала ее увидеть.

Например, чтобы разложить по формуле разность

$2)125 - 8{a^3} =$

надо сначала увидеть, что 125 — это куб 5, а 8a — куб (2a):

$= {5^3} - {(2a)^3} =$

и только после этого расписать выражение как разность кубов:

$= (5 - 2a)({5^2} + 5 \cdot 2a + {(2a)^2}) =$

$= (5 - 2a)(25 + 10a + 4{a^2});$

На первых шагах работы с формулой помочь в работе может схема:

Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть куб числа:

${\begin{array}{*{20}{l}} {{1^3} = 1}\\ {{2^3} = 8}\\ {{3^3} = 27}\\ {{4^3} = 64}\\ {{5^3} = 125}\\ {{6^3} = 216}\\ {{7^3} = 343}\\ {{8^3} = 512}\\ {{9^3} = 729}\\ {{{10}^3} = 1000} \end{array}}$

Свойства степеней

${a^{3n}} = {({a^n})^3}$

${a^{3m}}{b^{3n}} = {({a^m}{b^n})^3}$

помогут нам представить степень и произведение степеней в виде куба.

Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью разности кубов.

$3)64{c^3} - 343{d^3} = {(4c)^3} - {(7d)^3} =$

$= (4c - 7d)({(4c)^2} + 4c \cdot 7d + {(7d)^2}) =$

$= (4c - 7d)(16{c^2} + 28cd + 49{d^2});$

$4){x^{12}} - {x^{15}} = {({x^4})^3} - {({x^5})^3} =$

$= ({x^4} - {x^5})({({x^4})^2} + {x^4} \cdot {x^5} + {({x^5})^2}) =$

$= ({x^4} - {x^5})({x^8} + {x^9} + {x^{10}});$

$5)0,008{a^3} - 0,000000001{b^3} =$

Чтобы найти, сколько знаков нужно поставить после запятой, если известен куб числа, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3. У 0,008 после запятой стоит три знака, значит, у числа, которое возвели в куб, знаков после запятой в три раза меньше — один. У 0,000000001 — 9 знаков после запятой. Делим девять на 3. У числа, которое возводят в куб, после запятой — три знака:

$= {(0,2a)^3} - {(0,001b)^3} =$