Произведение разности и неполного квадрата суммы

Произведение разности и неполного квадрата суммы (a-b)(a^2+ab+b^2) можно найти непосредственно умножением. А можно один раз вывести формулу и в дальнейшем применять ее при упрощении выражений.

$(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) =$

Умножаем многочлены:

$= {a^3}\underline{\underline { + {a^2}b}} \underline { + a{b^2}} \underline{\underline { - {a^2}b}} \underline { - a{b^2}} - {b^3} =$

После приведения подобных членов многочлена получаем:

$= {a^3} - {b^3}.$

Таким образом,

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Формула:

$(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) = {a^3} - {b^3}$

— еще одна формула сокращенного умножения (которые своё название получили за то, что позволяют сократить вычисления).

С помощью схемы умножение разности двух выражений на неполный квадрат суммы можно изобразить так:

Например,

$1)(4 - z)({4^2} - 4 \cdot z + {z^2}) =$

$= {4^3} - {c^3} = 64 - {c^3}.$

На практике столь подробно примеры обычно не расписывают. Поэтому в алгебре важно научиться видеть формулы сокращенного умножения уметь их применять.

Примеры.

$2)(3x - 5y)(9{y^2} + 15xy + 25{y^2}) =$

Проверяем, является ли выражение во вторых скобках неполным квадратом суммы выражений, стоящих в первых скобках:

(3x)²=9x², (5y)²=25y², 3x∙5y=15xy — неполный квадрат суммы есть.

$= (3x - 5y)({(3y)^2} + 3x \cdot 5y + {(5y)^2}) =$

Значит, это выражение можно свернуть по формуле:

$= {(3x)^3} - {(5y)^3} = 27{x^3} - 125{y^3};$

На схеме это выглядит так:

$3)(10m - 0,1k)(100{m^2} + mk + 0,01{k^2}) =$

(10m)²=100m², (0,1k)²=0,01k², 10m∙0,1k=mk. Это произведение можно свернуть как разность кубов:

$= (10m - 0,1k)({(10m)^2} + 10m\cdot0,1k +$

$+ {(0,1k)^2}) =$

$= {(10m)^3} - {(01k)^3} = 1000{m^3} - 0,001{k^3};$

$4)(\frac{2}{7}a - 3\frac{1}{2}b)(\frac{4}{{49}}{a^2} + ab + 12\frac{1}{4}{b^2}) =$

Смешанные числа переводим в неправильные дроби и выделяем неполный квадрат суммы:

$= (\frac{2}{7}a - \frac{7}{2}b)(\frac{4}{{49}}{a^2} + ab + \frac{{49}}{4}{b^2}) =$

$= (\frac{2}{7}a - \frac{7}{2}b)({(\frac{2}{7}a)^2} + \frac{2}{7}a \cdot \frac{7}{2}b + {(\frac{7}{2}b)^2}) =$

Сворачиваем произведение в разность кубов:

$= {(\frac{2}{7}a)^3} - {(\frac{7}{2}b)^3} = \frac{8}{{343}}{a^3} - \frac{{343}}{8}{b^3} =$

Из неправильной дроби выделяем целую часть

$= \frac{8}{{343}}{a^3} - 42\frac{7}{8}{b^3};$

$5)({b^{11}} - 2)({b^{22}} + 2{b^{11}} + 4) =$

$= ({b^{11}} - 2)({({b^{11}})^2} + 2 \cdot {b^{11}} + {2^2}) =$

$= {({b^{11}})^3} - {2^3} = {b^{33}} - 8.$

Добавить комментарий Отменить ответ