Построение графика квадратичной функции продолжим рассмотрением способа, базирующегося на преобразованиях координатной плоскости.
II способ.
1) Находим координаты вершины параболы y=ax²+bx+c — точку (xo; yo)
2) Осуществляем параллельный перенос начала отсчёта — точки O (0; 0) — в точку (xo; yo). При таком преобразовании новыми осями координат x’ и y’ становятся прямые y=yo и x=xo.
2) Строим параболу y=x² (если a>o)либо y= -x² (если a<0) с вершиной в новом начале отсчёта (достаточно отметить базовые точки).
3) От вершины строим график функции y=ax². При |a|>1 график может быть получен растяжением от оси y=y0 в |a| раз, при |a|<1 — сжатием в |a| раз.
(Вариант — график функции y=ax² можно построить с началом отсчёта в точке O (0; 0), а затем осуществить его параллельный перенос).
Примеры.
1) Построить график функции y=3x²-24x+43.
Решение:
y=3x²-24x+43 — квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=3>0). Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 24)}}{{2 \cdot 3}} = 4,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90787759e1afe1acdc711dff3258a16a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = 3 \cdot {4^2} - 24 \cdot 4 + 43 = - 5.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ea4060cba2e5439f682e2d64a5b0156_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Точка (4; -5) — новое начало отсчёта. Построим параболу y=x² с вершиной в этой точке (достаточно отметить базовые точки — 1 единица вправо, 1 — вверх, 2 вправо. 4 — вверх, 1 — влево, 1 — вверх, 2 — влево, 4 — вверх.
График функции y=3x² может быть получен из графика y=x² растяжением от оси x’ (x= -5) в 3 раза:
Построение графика квадратичной функции y=3x²-24x+43
2) Построить график функции y= -0,5x²-2x+1
Решение:
y= -0,5x²-2x+1 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз (так как a= -0,5<0).
Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2 \cdot ( - 0,5)}} = - 2,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31fc8052e471693ff173669356be55bf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = - 0,5\cdot{( - 2)^2} - 2\cdot( - 2) + 1 = 3.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b90b83c18ba42c3363528d1a81c2ffc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Точка (-2; 3) — новое начало отсчёта. Построим параболу y= -x² с вершиной в этой точке. График функции
![\[y = - 0,5{x^2} = - \frac{1}{2}{x^2}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a9d7679bb39dcfb7fe4dae9243ad600_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
может быть получен из графика y= -x² сжатием к оси x’ (y=3) в 2 раза.
Построение графика функции y= -0,5x²-2x+1
Для построения графика квадратичной функции этим способом нужно хорошее владение навыками геометрических преобразований графиков.
Если координаты вершины параболы не являются целыми числами, этот способ менее удобен, чем построение по точкам.
Какой бы способ вы для себя ни выбрали, важно вовремя качественно усвоить данную тему, поскольку с построением графиков функций в алгебре придётся иметь дело ещё не раз.