Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

${a^{ - 1}} = \frac{1}{a}$

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

${a^{ - \frac{m}{n}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{m}{n}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{{a^m}}}}}$

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

${a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt a }}$

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

${(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n}$

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

${(\frac{a}{b})^{ - 1}} = \frac{b}{a}$

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

$1){7^{ - 2}} = \frac{1}{{{7^2}}} = \frac{1}{{49}};$

$2){4^{ - 1}} = \frac{1}{4};$

$3){( - 5)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 5)}^3}}} = \frac{1}{{ - 125}} = - \frac{1}{{125}};$

$4){(\frac{5}{{12}})^{ - 1}} = \frac{{12}}{5} = 2,4;$

$5){(\frac{2}{9})^{ - 2}} = {(\frac{9}{2})^2} = \frac{{81}}{4} = 20\frac{1}{4}.$

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

$6){(1\frac{2}{3})^{ - 4}} = {(\frac{5}{3})^{ - 4}} = {(\frac{3}{5})^4} = \frac{{81}}{{625}};$

$6){( - 5\frac{1}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{{11}}{2})^{ - 2}} = {( - \frac{2}{{11}})^2} = \frac{4}{{121}}.$

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

$8){(49)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{49}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {49} }} = \frac{1}{7};$

$9){(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{{(0,216)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(0,216)}^2}}}}} =$

$= \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{{(0,216)}})}^2}}} = \frac{1}{{{{(0,6)}^2}}} = \frac{1}{{0,36}} =$

$= \frac{1}{{\frac{{36}}{{100}}}} = \frac{{100}}{{36}} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9};$

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

${(0,216)^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{216}}{{1000}})^{ - \frac{2}{3}}} = {(\frac{{27}}{{125}})^{ - \frac{2}{3}}} =$

$= {(\frac{{125}}{{27}})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{{27}})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{27}}}})^2} =$

$= {(\frac{5}{3})^2} = \frac{{25}}{9} = 2\frac{7}{9}.$

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

$10){(0,0004)^{ - 1,5}} = {(\frac{4}{{10000}})^{ - 1,5}} = {(\frac{1}{{2500}})^{ - 1,5}} =$

$= {2500^{1,5}} = {2500^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{2500}^3}} = {(\sqrt {2500} )^3} =$

$= {50^3} = 125000.$

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

14 комментариев

Devas37:

29.03.2016 в 14:00

Класс !!!

Ответить
Виктория:

15.05.2017 в 00:32

Большое спасибо!

Ответить
Ваня:

05.06.2017 в 20:35

Спасибо огромное.

Ответить
Ансаган:

26.10.2017 в 08:47

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Ответить
- admin:
  
  26.10.2017 в 09:27
  
  Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.
  
  Ответить
- Alex:
  
  17.06.2018 в 00:15
  
  Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО!..»
  
  :))
  
  А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?
  
  Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.
  
  🙁
  
  При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))
  
  Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:
  
  В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…
  
  Ответить
  - Сауле:
    
    06.10.2020 в 16:17
    
    Вообще-то знание и умение решать примеры с отрицательной степенью никак не поможет в задаче с разными процентами уксуса. Просто заговор против большинства людей))
    
    Ответить
Полина:

25.11.2017 в 15:30

Спасибо ,мне очень помогло !

Ответить
Luisa:

20.12.2017 в 21:38

Огромное спасибо

Ответить
Максим:

15.08.2018 в 17:00

Благодарю

Ответить
Саната:

18.03.2019 в 16:23

Спасибо большое!!!

Ответить
Евгений:

13.04.2019 в 07:35

Математики любят заниматься извращениями ума. Придумывают числа с отрицательной степенью. Скажите! Где это можно применять.

Ответить
- admin:
  
  02.06.2019 в 15:25
  
  Евгений, простейший вариант применения — элементарные вычисления с помощью техники. 1/3 как элемент вычислений даст приближенное значение, 3 в степени -1 может дать точное значение.
  
  Ответить
Рамазан:

04.05.2019 в 13:44

Спасибо

Ответить

14 комментариев

Добавить комментарий Отменить ответ