Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n}}},$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}.$

Частный случай этого неравенства, связывающий среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, известен с древних времён. Чаще всего его доказывают, используя геометрическую интерпретацию.

Дано: a>0, b>0

Доказать:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Доказательство:

neravenstvo-o-srednem-arifmeticheskom-i-srednem-geometricheskom Пусть AD=a, BD=b.

Построим окружность с диаметром AB=a+b.

Из произвольной точки C окружности проведём к диаметру перпендикуляр CD.

Угол ACD — прямой (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

По свойству прямоугольного треугольника, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому между проекциями катетов на гипотенузу:

$CD = \sqrt {AD \cdot BD}$

то есть

$CD = \sqrt {a \cdot b}$

Соединим точку C с центром окружности, точкой O. CO — радиус, значит, он равен половине диаметра:

$CO = \frac{1}{2}AB$

$CO = \frac{{a + b}}{2},$

то есть длина CO равна среднему арифметическому a и b.

В прямоугольном треугольнике COD CD — катет, CO — гипотенуза.

Так как гипотенуза всегда больше катета, CO>CD, следовательно, среднее арифметическое a и b больше их среднего геометрического.

neravenstvo-koshi D совпадает с точкой O,

если AO=BO, то есть a=b.

В этом случае

CO=CD=AO=BO=a=b,

$\frac{{a + b}}{2} = \frac{{a + a}}{2} = a,\sqrt {a \cdot b} = \sqrt {a \cdot a} = a$

(так как a>0), и и ф этом случае среднее арифметическое a и b равно их среднему геометрическому.

Таким образом, среднее арифметическое положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического.

Что и требовалось доказать.

В общем случае неравенство было доказано Коши.

Добавить комментарий Отменить ответ