Неполный квадрат разности

Неполный квадрат разности в алгебре важен в качестве составной части формулы суммы кубов. В процессе изучения формул сокращенного умножения важно научиться видеть формулы полных и неполных квадратов и различать их между собой.

Неполный квадрат разности — это сумма трех слагаемых, два из которых — квадраты некоторых выражений, а третье равно произведению этих выражений (со знаком «минус» перед ним).

В отличие от полного квадрата разности, произведение выражений не удваивается.

С помощью букв неполный квадрат разности можно записать так:

${a^2} - ab + {b^2}$

С помощью схемы — так:

Примеры неполных квадратов разности:

$1){3^2} - 3k + {k^2};$

$2){z^2} - 5z + {5^2}.$

На практике неполный квадрат, как правило, свернут, поэтому, чтобы понять, является ли выражение неполным квадратом разности, его нужно проанализировать.

На этапе изучения новой темы есть смысл выражения подробно расписывать.

Как определить, является ли выражение неполным квадратом разности?

Признаки неполного квадрата разности

1) Выражение состоит ровно из трех слагаемых.

2) Два положительных слагаемых представляют собой квадраты некоторых выражений.

3) Третье слагаемое со знаком «минус» перед ним равно произведению этих выражений.

Например,

$3)16{x^2} - 36xy + 81{y^2}$

16x²=(4x)², 81y²=(9y)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 4x и 9y: 4x∙9y=36xy — да, равно. Следовательно, это выражение — неполный квадрат разности.

С помощью схемы это можно записать так:

$4)100{c^2} - 20cd + {d^2}$

100c²=(10c)², d² — уже представлен как квадрат, но 10c∙d≠20cd, поэтому выражение неполным квадратом разности не является (так как 20cd=2∙10c∙d, это выражение — полный квадрат разности).

Слагаемые могут стоять в произвольном порядке.

Например,

$5)2\frac{7}{9}{a^2} + 81{b^2} - 15ab =$

$= \frac{{25}}{9}{a^2} - 15ab + 81{b^2} =$

$= {(\frac{5}{3}a)^2} - \frac{5}{3}a \cdot 9b + {(9b)^2};$

В некоторых случаях выражение, не являющееся неполным квадратом разности, может быть к нему приведено.

Например,

$6)35mn - 25{m^2} - 49{n^2}$

Здесь два слагаемых отрицательны, значит, неполным квадратом разности это выражение быть не может. Но если знак «минус» вынести за скобки, все знаки в скобках изменятся на противоположные:

$35mn - 25{m^2} - 49{n^2} =$

$= - (25{m^2} - 35mn + 49{n^2}) =$

$= - ({(5m)^2} - 5m \cdot 7n + {(7n)^2})$

В скобках — неполный квадрат разности.

$7)45{x^3} + 20x{y^2} - 30{x^2}y =$

Вынесем за скобки общий множитель 5x:

$= 5x(9{x^2} - 6xy + 4{y^2}) =$

$= 5x({(3x)^2} - 3x \cdot 2y + {(2y)^2}).$

В алгебре очень важно уметь раскладывать многочлены на множители и преобразовывать выражения (в том числе, по формуле суммы кубов, частью которой является неполный квадрат разности).

Добавить комментарий Отменить ответ