Найдите длину поезда в метрах, если два поезда идут навстречу друг другу либо один поезд догоняет другой (или пешеход идёт навстречу поезду, или пешеход идёт в том же направлении, что и поезд) — один из видов задач из ОГЭ и ЕГЭ.
Задача 1.
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение:
При движении навстречу друг другу скорость сближения поездов равна сумме их скоростей:
65+40=105 (км/ч) скорость сближения поездов
Переведём скорость из километров в час в метры в секунду:
105 км/ч=175/6 м/с
![\[ 105 \cdot \frac{{1000}}{{3600}} = \frac{{\mathop {\overline {105} }\limits^{35} \cdot \mathop {\overline {1000} }\limits^5 }}{{\mathop {\underline {3600} }\limits_{\mathop {\underline {18} }\limits_6 } }} = \frac{{35 \cdot 5}}{6} = \frac{{175}}{6} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c2681aff309d4d1d30998c210646da9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Скорый поезд прошел мимо пассажирского за 36 секунд. Умножим скорость сближения поездов на это время:
![\[ \frac{{175}}{6} \cdot 36 = 175 \cdot 6 = 1050 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45fd00e00a427462cdffa70ae7d72f43_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Длина поезда равна расстоянию от головы поезда до конца последнего вагона. 36 секунд — это время с момента, когда головной вагон скорого поезда поравнялся с головным вагоном пассажирского поезда, до момента, когда последний вагон скорого поезда проехал мимо последнего вагона пассажирского поезда.
Таким образом, 1050 м — это расстояние, между головным вагоном скорого поезда, и головным вагоном пассажирского поезда, то есть 1050 м — это сумма длин двух поездов.
Чтобы найти длину скорого поезда, из суммы длин вычитаем длину пассажирского поезда:
1050-350=700 м.
Ответ: 700 метров.
Задача 2.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1000 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам 18 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение:
Поезда движутся в одном направлении, значит, это движение вдогонку. При движении вдогонку скорость сближения поездов равна их разности:
60-30=30(км/ч) скорость сближения поездов.
30 км/ч= 25/3 м/с:
![\[ 30 \cdot \frac{{1000}}{{3600}} = \frac{{\mathop {\overline {30} }\limits^1 \cdot 1000}}{{\mathop {\underline {3600} }\limits_{120} }} = \frac{{25}}{3} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6755ea194a720d94e1bf517d2f7aadef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Скорый поезд прошёл мимо товарного на 2 минуты 18 секунд. Выразим время в секундах:
2 минуты 18 секунд =2·60+18=138 секунд.
Умножим скорость сближения поездов на это время:
![\[ \frac{{25}}{3} \cdot 138 = \frac{{25 \cdot \mathop {\overline {138} }\limits^{46} }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 }} = 1150 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4907507f76ba147908571d2ed91f2ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 минуты 18 секунд — это время с момента, когда головной вагон пассажирского поезда поравнялся с последним вагоном товарного до момента, когда последний вагон пассажирского прошёл мимо головного вагона товарного. То есть расстояние 1150 метров равно сумме длин двух поездов.
Остаётся из суммы длин двух поездов вычесть длину товарного:
1150-1000=150(м) длина пассажирского поезда.
Ответ: 150 м.
Задача 3.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение:
Так как пешеход идёт навстречу поезду, скорость сближения поезда и пешехода равна сумме их скоростей:
75+3=78 (км/ч) скорость сближения поезда и пешехода.
Скорость из км/ч переведём в м/с: 78 км/ч=65/3 м/с
![\[ 78 \cdot \frac{{1000}}{{3600}} = \frac{{\mathop {\overline {78} }\limits^{13} \cdot \mathop {\overline {1000} }\limits^5 }}{{\mathop {\underline {3600} }\limits_{\mathop {\underline {18} }\limits_3 } }} = \frac{{13 \cdot 5}}{3} = \frac{{65}}{3} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd57a02bbac78ecfd9597c7c02c55e64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Умножим скорость сближения поезда и пешехода на время, за которое поезд проезжает мимо пешехода:
![\[ \frac{{65}}{3} \cdot 30 = 65 \cdot 10 = 650 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8a49db1077b72725493817231096f2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
650 м — длина поезда.
Ответ: 650 м.
Задача 4
Поезд, двигаясь со скоростью 79 км/ч, проходит мимо идущего параллельно путям в том же направлении пешехода за 12 секунд. Определите длину поезда в метрах, если скорость пешехода равна 4 км/ч.
Решение:
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении (движение вдогонку), то скорость их сближения равна разности скоростей:
79-4=75 (км/ч) скорость сближения поезда и пешехода.
Переводим скорость из км/ч в м/с: 75 км/ч=125/6 м/с
![\[ 75 \cdot \frac{{1000}}{{3600}} = \frac{{\mathop {\overline {75} }\limits^{25} \cdot \mathop {\overline {1000} }\limits^5 }}{{\mathop {\underline {3600} }\limits_{\mathop {\underline {18} }\limits_6 } }} = \frac{{125}}{6} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c44bbe58b99db746b6c2eee906bc4607_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Умножим скорость сближения поезда и пешехода на время, за которое поезд проезжает мимо пешехода:
![\[ \frac{{125}}{6} \cdot 12 = 125 \cdot 2 = 250 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31f0acf4f2d33f2d8250e3270af931df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
250 м — длина поезда.
Ответ: 250 м.