Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Рассмотрим примеры.

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

$1)\left\{ \begin{array}{l} 7x + 12 > 2x + 2\\ 1 - 3x < 9 - 5x \end{array} \right.$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 7x - 2x > 2 - 12\\ - 3x + 5x < 9 - 1 \end{array} \right.$

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

$\left\{ \begin{array}{l} 5x > - 10\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\\ 2x < 8\_\_\_\left| {:2 > 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ x < 4 \end{array} \right.$

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

naibolshee-celoe-reshenie-sistemy-neravenstv

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Ответ: 3.

$2)\left\{ \begin{array}{l} 3x - 11 \le 7x + 1\\ 8x - 4 \le 5x + 2 \end{array} \right.$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 7x \le 1 + 11\\ 8x - 5x \le 2 + 4 \end{array} \right.$

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

$\left\{ \begin{array}{l} - 4x \le 12\_\_\_\left| {:( - 4) < 0} \right.\\ 3x \le 6\_\_\_\left| {:3 > 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge - 3\\ x \le 2 \end{array} \right.$

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

najti-naibolshee-celoe-reshenie-sistemy-neravenstv

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

Ответ: 2.

$3)\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x}}{3} - \frac{x}{4} < 2\\ \frac{x}{2} + 3 > 4x \end{array} \right.$

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^{\backslash 4}}}}{3} - \frac{{{x^{\backslash 3}}}}{4} < {2^{\backslash 12}}\_\_\_\left| { \cdot 12 > 0} \right.\\ \frac{{7{x^{\backslash 1}}}}{2} + {3^{\backslash 2}} > 4{x^{\backslash 2}}\_\_\_\left| { \cdot 2 > 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 8x - 3x < 24\\ 7x + 6 > 8x \end{array} \right.$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 8x - 3x < 24\\ 7x - 8x > - 6 \end{array} \right.$

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

$\left\{ \begin{array}{l} 5x < 24\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.\\ - x > - 6\_\_\_\left| {:( - 1) < 0} \right. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x < 4,8\\ x < 6 \end{array} \right.$

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x<4,8.

Наибольшее целое число, меньшее 4,8, равно 4.

Ответ:4.

Добавить комментарий Отменить ответ