Линейные неравенства с одной переменной

Как решать линейные неравенства с одной переменной вида ax+b>cx+d?

Для этого используем всего два правила.

1) Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

2) Обе части неравенства можно разделить на число, стоящее перед иксом (или другой переменной). При делении на положительное число знак неравенства не меняется. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

В общем виде решение линейного неравенства с одной переменной

$ax + b > cx + d$

можно изобразить так:

1) Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$ax - cx > d - b$

$(a - c)x > d - b$

2) Если число перед иксом не равно нулю (a-c≠0), обе части неравенства делим на a-c.

Если a-c>0, знак неравенства не изменяется:

$(a - c)x > d - b\_\_\_\left| {:(a - c) > 0} \right.$

$x > \frac{{d - b}}{{a - c}}$

Если a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

$(a - c)x > d - b\_\_\_\left| {:(a - c) < 0} \right.$

$x < \frac{{d - b}}{{a - c}}$

Если a-c=0, то это — частный случай. Частные случаи решения линейных неравенств рассмотрим отдельно.

Примеры.

$1)5x + 11 > 7x - 9$

Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$5x - 7x > - 9 - 11$

$- 2x > - 20$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

$- 2x > - 20\_\_\_\left| {:( - 2) < 0} \right.$

$x < \frac{{ - 20}}{{ - 2}}$

$x < 10$

Так как неравенство строгое, 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 10 влево, на минус бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.

Ответ:

$x \in ( - \infty ;10).$

$2)15x + 21 \ge 5x - 2$

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$15x - 5x \ge - 2 - 21$

$10x \ge - 23$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>0, знак неравенства при этом не изменяется:

$10x \ge - 23\_\_\_\left| {:10 > 0} \right.$

$x \ge \frac{{ - 23}}{{10}}$

$x \ge - 2,3$

Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

$x \in [ - 2,3;\infty ).$

$3)7x - 12 < 4x - 10$

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком.

$7x - 4x < - 10 + 12$

$3x < 2$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку 3>0, знак неравенства при этом не изменяется:

$3x < 2\_\_\_\left| {:3 > 0} \right.$

$x < \frac{2}{3}$

Так как неравенство строгое, x=2/3 на числовой прямой изображаем выколотой точкой.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 2/3 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

$x \in ( - \infty ;\frac{2}{3}).$

$4)12x - 19 \le 16x - 10$

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$12x - 16x \le - 10 + 19$

$- 4x \le 9$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -4 — отрицательное число, знак неравенства при этом изменяется на противоположный:

$- 4x \le 9\_\_\_\left| {:( - 4) < 0} \right.$

$x \ge \frac{9}{{ - 4}}$

$x \ge - 2,25$

Поскольку неравенство нестрогое, -2,25 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой.

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, -2,25 включаем в ответ, то есть записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

$x \in [ - 2,25;\infty ).$

Решать линейные неравенства с одной переменной в алгебре приходится не только в виде отдельных примеров, но также при нахождении области определения функций, области допустимых значений выражений, решении уравнений и более сложных неравенств. Вот почему важно вовремя понять эту тему и научиться применять её.

Добавить комментарий Отменить ответ