Куб суммы | Алгебра

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Формула кубы суммы:

${(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$

Другой вариант записи формулы куба суммы:

${(a + b)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)$

Примеры применения формулы куба суммы:

$1){(x + 5)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot {5^2} + {5^3} =$

$= {x^3} + 15{x^2} + 75x + 125;$

$2){(2m + 3n)^3} = {(2m)^3} + 3 \cdot {(2m)^2} \cdot 3n +$

$+ 3 \cdot 2m \cdot {(3n)^2} + {(3n)^3} =$

$= 8{m^3} + 36{m^2}n + 54m{n^2} + 27{n^3};$

$3){(10a + 0,1b)^3} =$

$= {(10a)^3} + 3 \cdot {(10a)^2} \cdot 0,1b +$

$+ 3 \cdot 10a \cdot {(0,1b)^2} + {(0,1b)^3} =$

$= 1000{a^3} + 30{a^2}b + 0,3a{b^2} + 0,001{b^3};$

$4){(\frac{4}{5}c + \frac{5}{4}d)^3} = {(\frac{4}{5}c)^3} + 3 \cdot {(\frac{4}{5}c)^2} \cdot \frac{5}{4}d +$

$+ 3 \cdot \frac{4}{5}c \cdot {(\frac{5}{4}d)^2} + {(\frac{5}{4}d)^3} =$

$= \frac{{64}}{{125}}{c^3} + \frac{{12}}{5}{c^2}d + \frac{{15}}{4}c{d^2} + \frac{{125}}{{64}}{d^3}.$

Как и другие формулы сокращённого умножения, формула куба суммы является тождеством, то есть может применяться как для преобразования куба суммы в сумму четырёх слагаемых, так и для обратного перехода:

${a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {(a + b)^3}$

Формула куба суммы впервые встречается в теме «Формулы сокращённого умножения» в курсе алгебры 7 класса (как дополнительный материал). В следующий раз сумму кубов изучают в курсе комбинаторики как частный случай бинома Ньютона.

Добавить комментарий Отменить ответ