Как умножить многочлен на одночлен

Как умножить многочлен на одночлен? Как при умножении правильно расставить знаки?

Правило.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные результаты сложить.

Удобно одночлен записывать перед скобками.

Чтобы правильно расставить знаки при умножении, лучше воспользоваться правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс» либо знак «минус».

Умножения многочлена на одночлен можно изобразить с помощью схемы.

Одночлен умножаем на каждый член многочлена, стоящего в скобках («фонтанчиком»).

Если перед скобками стоит знак «+», знаки в скобках не изменяются:

Если перед скобками стоит знак «-«, каждый знак в скобках меняется на противоположный:

Рассмотрим, как умножить многочлен на одночлен, на конкретных примерах.

Примеры.

Выполнить умножение многочлена на одночлен:

$1)3ab(5{a^2}b + 10a{b^2} - 8ab);$

$2) - 5{x^2}(3{x^3} - 7x + 2);$

$3)\frac{3}{7}xy(\frac{{14}}{{27}}{x^2} - 2\frac{1}{3}y);$

$4) - 3\frac{1}{3}mp(1,2m - 3,9{p^2}).$

Решение:

$1)3ab(5{a^2}b + 10a{b^2} - 8ab)=$

Умножаем одночлен на каждый член многочлена, стоящего в скобках. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не изменяются:

$= 3ab \cdot 5{a^2}b + 3ab \cdot 10a{b^2} - 3ab \cdot 8ab =$

отдельно перемножаем числа, отдельно — степени с одинаковыми основаниями:

$= 3 \cdot 5 \cdot a{a^2}bb + 3 \cdot 10 \cdot aab{b^2} - 3 \cdot 8 \cdot aabb =$

$= 15{a^3}{b^2} + 30{a^2}{b^3} - 24{a^2}{b^2};$

$2) - 5{x^2}(3{x^3} - 7x + 2) =$

Одночлен умножаем на каждый член многочлена. Так как перед скобками стоит множитель, знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняем на противоположный:

$= - 5 \cdot 3 \cdot {x^2}{x^3} + 5 \cdot 7 \cdot {x^2}x - 5 \cdot 2 \cdot {x^2} =$

$= - 15{x^5} + 35{x^3} - 10{x^2};$

Обычно пишут короче, умножение степеней и чисел (за исключением обыкновенных дробей и смешанных чисел) выполняют устно.

$3)\frac{3}{7}xy(\frac{{14}}{{27}}{x^2} - 2\frac{1}{3}y) =$

Если коэффициенты — обыкновенные дроби, то умножаем их по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель — на числитель, знаменатель — на знаменатель, и сразу же записывая их под одну дробную черту. Если коэффициенты — смешанные числа, переводим их в неправильные дроби:

$= \frac{{3 \cdot 14}}{{7 \cdot 27}}{x^3}y - \frac{{3 \cdot 7}}{{7 \cdot 3}}x{y^2} =$

Внимание!

Не сокращаем дроби, пока не записали все действия до конца. Как показывает практика, если сразу же начинать с сокращения дробей, то до остальных слагаемых дело не доходит — о них просто забывают.

$= \frac{{\mathop {\overline 3 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {14} }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {27} }\limits_9 }}{x^3}y - \frac{{\mathop {\overline 3 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline 7 }\limits^1 }}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline 3 }\limits_1 }}x{y^2} = \frac{2}{9}{x^3}y - x{y^2};$

$4) - 3\frac{1}{3}mp(1,2m - 3,9{p^2}) =$

Перед скобками стоит «-«, знак каждого слагаемого в скобках меняем на противоположный. И смешанное число, и десятичные дроби переводим в обыкновенные дроби:

$= - \frac{{10 \cdot 12}}{{3 \cdot 10}}{m^2}p + \frac{{10 \cdot 39}}{{3 \cdot 10}}m{p^3} =$

Теперь сокращаем дроби:

$= - \frac{{\mathop {\overline {10} }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {12} }\limits^4 }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {10} }\limits_1 }}{m^2}p + \frac{{\mathop {\overline {10} }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {39} }\limits^{13} }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {10} }\limits_1 }}m{p^3} =$

$= - 4{m^2}p + \frac{{13}}{{10}}m{p^3} = - 4{m^2}p + 1,3m{p^3}.$

Добавить комментарий Отменить ответ