Как разложить многочлен на множители

Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.

Разложение многочленов будем проводить в соответствии с планом.

Разложить многочлены на множители:

$1)14c{d^2} + 49{c^2}d;$

Проверяем, нет ли общего множителя. Общий множитель есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:

$14c{d^2} + 49{c^2}d = 7cd(2d + 7c);$

Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.

$2)25{x^2} - 30xy + 9{y^2}$

Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — полный квадрат разности:

$25{x^2} - 30xy + 9{y^2} =$

$= {(5x)^2} - 2 \cdot 5x \cdot 3y + {(3y)^2} = {(5x - 3y)^2};$

$3){a^3} - a;$

Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:

${a^3} - a = a({a^2} - 1) =$

В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:

$= a(a - 1)(a + 1);$

$4)80 + 40a + 5{a^2};$

Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:

$80 + 40a + 5{a^2} = 5(16 + 8a + {a^2}) =$

в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4² и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:

$= 5({4^2} + 2 \cdot 4 \cdot a + {a^2}) = 5{(4 + a)^2};$

$5) - 128x - 2{x^4} ;$

Общий множитель -2x выносим за скобки:

$- 128x - 2{x^4} = - 2x(64 + {x^3}) =$

В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле суммы кубов:

$= - 2x({4^3} + {x^3}) =$

$= - 2x(4 + x)({4^2} - 4 \cdot x + {x^2}) =$

$= - 2x(4 + x)(16 - 4x + {x^2});$

$6)4a + 24ab - 8b - 12{a^2} =$

Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала группировать слагаемые, а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:

$= (4a - 12{a^2}) + (24ab - 8b) =$

Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:

$= 4a(1 - 3a) + 8b(3a - 1) =$

Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-«, при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:

$= 4a(1 - 3a) - 8b(1 - 3a) =$

Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:

$= (1 - 3a)(4a - 8b) =$

Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):

$= 4(1 - 3a)(a - 2b);$

$7)16{m^2} - 9{n^2} - 20m + 15n =$

Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

$= (16{m^2} - 9{n^2}) + ( - 20m + 15n) =$

В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:

$= (4m - 3n)(4m + 3n) - 5(4m - 3n) =$

Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки:

$= (4m - 3n)((4m + 3n) - 5) =$

$= (4m - 3n)(4m + 3n - 5);$

$8)9 - 25{x^2} + 30xy - 9{y^2} =$

Группировка по два слагаемых не дает результа. Группируем второе, третье и четвертое слагаемые:

$= 9 + ( - 25{x^2} + 30xy - 9{y^2}) =$

В скобках общего множителя нет. Но, если вынести за скобки «минус», в скобках появится формула полного квадрата:

$= 9 - (25{x^2} - 30xy + 9{y^2}) =$

$= 9 - ({(5x)^2} - 2 \cdot 5x \cdot 3y + {(3y)^2}) =$

$= 9 - {(5x - 3y)^2} =$

Общий множитель так и не появился. Однако, если представить 9 как 3², то получим формулу разности квадратов:

$= {3^2} - {(5x - 3y)^2} =$

$= (3 - (5x - 3y))(3 + (5x - 3y)) =$

$= (3 - 5x + 3y)(3 + 5x - 3y).$

3 комментария

Анна:

24.02.2021 в 16:23

Добрый день! Спасибо за хорошее объяснение! Вроде все понятно, но я все равно не могу решить это задание:
Данное выражение представьте в виде произведения числа и квадрата многочлена (а^2+3а)+12(а^2+3а)+36
Вы не можете подсказать, в чем здесь хитрость? Если бы первая скобка (а^2+3а) была в квадрате, то решить было бы легко. Но это не опечатка. В первом варианте такое же задание, только с другими числами. Мы с одноклассниками никак не можем догадаться 🙁

Ответить
- admin:
  
  25.02.2021 в 00:17
  
  Произведение числа и квадрата многочлена получается, но как слагаемое:
  
  $(a^2 + 3a) + 12(a^2 + 3a) + 36 = 13(a^2 + 3a) + 36 =$
  
  $= 13(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{3}{2} + \left( {\frac{3}{2}} \right)^2 ) - \left( {\frac{3}{2}} \right)^2 + 36 =$
  
  $= 13\left( {a + \frac{3}{2}} \right)^2 - \frac{9}{4} + 36^{\backslash 4} = 13\left( {a + \frac{3}{2}} \right)^2 + \frac{{135}}{4}.$
  
  Ответить
  - Анна:
    
    25.02.2021 в 21:12
    
    Большое спасибо! Наверное, так и надо, ведь произведение числа и квадрата многочлена все же получилось 😉
    
    Ответить

3 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ