Как привести дроби к общему знаменателю

Как привести алгебраические (рациональные) дроби к общему знаменателю?

1) Если в знаменателях дробей стоят многочлены, нужно попытаться разложить эти многочлены на множители одним из известных способов.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени.

Наименьший общий знаменатель для чисел устно ищем как наименьшее число, которое делится на остальные числа.

3) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.

4) Числитель и знаменатель первоначальной дроби умножаем на дополнительный множитель.

Рассмотрим примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

$1)\frac{{2a}}{{15b}}u\frac{{7b}}{{9c}}$

Чтобы найти общий знаменатель для чисел, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

$\frac{{2{a^{\backslash 3c}}}}{{15b}} = \frac{{6ac}}{{45bc}};\frac{{7{b^{\backslash 5b}}}}{{9c}} = \frac{{35{b^2}}}{{45bc}};$

$2)\frac{b}{{6{a^3}c}}u\frac{7}{{8{a^2}bc}}$

Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.

Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:

$\frac{{{b^{\backslash 4b}}}}{{6{a^3}c}} = \frac{{4{b^2}}}{{24{a^3}bc}};\frac{{{7^{\backslash 3a}}}}{{8{a^2}bc}} = \frac{{21a}}{{24{a^3}bc}};$

$3)\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 18x + 81}}u\frac{3}{{{x^2} - 81}}$

Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно разложить на множители. В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):

$\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 18x + 81}} = \frac{{2x + 1}}{{{{(x - 9)}^2}}},$

$\frac{3}{{{x^2} - 81}} = \frac{3}{{(x - 9)(x + 9)}}.$

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен (x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:

$\frac{{2x + {1^{\backslash (x + 9)}}}}{{{{(x - 9)}^2}}} = \frac{{(2x + 1)(x + 9)}}{{{{(x - 9)}^2}(x + 9)}} =$

$= \frac{{2{x^2} + 18x + x + 9}}{{{{(x - 9)}^2}(x + 9)}} = \frac{{2{x^2} + 19x + 9}}{{{{(x - 9)}^2}(x + 9)}},$

$\frac{{{3^{\backslash (x - 9)}}}}{{(x - 9)(x + 9)}} = \frac{{3(x - 9)}}{{{{(x - 9)}^2}(x + 9)}} =$

$= \frac{{3x - 27}}{{{{(x - 9)}^2}(x + 9)}};$

$4)\frac{5}{{{x^2} - 5x}}u\frac{{3x}}{{4x - 20}}$

Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, из второй — 4:

$\frac{5}{{{x^2} - 5x}} = \frac{5}{{x(x - 5)}},$

$\frac{{3x}}{{4x - 20}} = \frac{{3x}}{{4(x - 5)}}.$

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, а значит, равен 4x(x-5).

Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель:

$\frac{{{5^{\backslash 4}}}}{{x(x - 5)}} = \frac{{20}}{{4x(x - 5)}},$

$\frac{{3{x^{\backslash x}}}}{{4(x - 5)}} = \frac{{3{x^2}}}{{4x(x - 5)}}.$

Необходимость в приведении рациональных дробей к общему знаменателю в алгебре возникает при сложении и вычитании дробей. Как складывать и как вычитать дроби с разными знаменателями, рассмотрим в следующий раз.

Добавить комментарий Отменить ответ