Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.
График квадратичной функции y=x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вверх. Для построения графика достаточно найти координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}},\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-231f074daa733b34662f838fec1797c5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
для нахождения ординаты можно подставить в формулу y=x²+bx+c вместо каждого x найденное значение хₒ: yₒ=xₒ²+bxₒ+c. От вершины (хₒ; yₒ ) строим параболу y=x².
Пример.
Построить график функции y=x²+2x-3.
Решение:
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = - 1,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f20ff640122ba7b4803954f186d58620_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = {( - 1)^2} + 2 \cdot ( - 1) - 3 = - 4.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f03c28a7f6a7b6b851b9e155e655a110_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
y=x²+2x-3
График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².
Пример.
Построить график функции y= -x²+2x+8.
Решение:
y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2\cdot( - 1)}} = 1,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cee03374fd25f282ed9328e5e5d0442a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = - {1^2} + 2\cdot1 + 8 = 9.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b96e8b6f65af1d1af315b2efdf3478b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):
y= -x²+2x+8
Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.
Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.
Примеры.
Построить график функции y=x²+5x+4.
Решение:
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 5}}{{2 \cdot 1}} = - 2,5;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4255e715c152a615f8c5378f711da8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = {( - 2,5)^2} + 5 \cdot ( - 2,5) + 4 = - 2,25,\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-361f49595a169036c490c7279141b9c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).
Ищем точки пересечения графика с осями координат. В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
y=x²+5x+4
Построить график функции y= -x²-3x.
Решение:
y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
![\[{x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 3)}}{{2 \cdot 1}} = - 1,5;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab6f2023c9a489ee17258cb07c5918ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{y_o} = - {( - 1,5)^2} - 3 \cdot ( - 1,5) = 2,25.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c7e7f223296a0ffdc5c3b3aedb56801_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.
При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.
y= -x²-3x
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.