Чётная функция

Определение.

Чётная функция — это функция y=f(x), для любого значения x из области определения которой  выполняется равенство:

Из равенства f(-x)=f(x) для любого x из области определения y=f(x) следует, что область определения чётной функции симметрична относительно точки x=0 (то есть если точка x принадлежит области определения функции, то и точка -x также принадлежит её области определения).

В некоторых источниках условие симметрии области определения функции относительно нуля включают в определение чётной функции.

Чтобы доказать, что функция y=f(x) чётная, достаточно показать, что равенство f(-x)=f(x) выполняется при любых значениях x из области определения функции.

Доказать, что y=f(x) не является чётной функцией, можно двумя способами:

1) показать, что равенство f(-x)=f(x) не выполнено;

2) показать, что область определения y=f(x) не симметрична относительно нуля.

Примеры чётных функций:

Свойства чётных функций

1) График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Доказательство:

Пусть y= f(x) — чётная функция.

Если точка A (a; b) принадлежит графику функции y= f(x), то b=f(a).

Так как y= f(x) — чётная функция, то f(-a)=f(a)=b.

Значит, точка A1 (-a; b) также принадлежит графику функции y= f(x).

Точки A (a; b) и A1 (-a; b) симметричны относительно оси Оy, то есть ось ординат является для графика функции y= f(x)осью симметрии.

Что и требовалось доказать.

Примеры графиков чётных функций — y=x², y=cos x, y=|х|.

2) Сумма, разность, произведение и частное чётных функций являются чётными функциями.

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x) — чётные функции, то есть f(-x)=f(x), g(-x)=g(x).

Тогда

Что и требовалось доказать.

Примеры.

Определить, является ли функция чётной:

Решение:

Условие y(-x)=y(x) выполнено. Следовательно, данная функция — чётная.

функция y=f(x) — чётная. 

g(x) является чётной функцией.

1 способ

данная функция не является чётной.

2 способ

Функция не чётная, так как уё область определения —x∈(-∞;1) и (1;∞) не симметрична относительно точки x=0.