Частные случаи систем линейных неравенств

Рассмотрим частные случаи систем линейных неравенств с одной переменной, когда система содержит неравенство, которое не имеет решений, либо неравенство, решением которого является любое число.

$1)\left\{ \begin{array}{l} 7(2x + 5) > 2(5x - 1) + 4x + 32\\ 0,2(6x - 1) \le 2(2x + 1,2) - 1,4 \end{array} \right.$

Раскрываем скобки

$\left\{ \begin{array}{l} 14x + 35 > 10x - 2 + 4x + 32\\ 1,2x - 0,2 \le 4x + 2,4 - 1,4 \end{array} \right.$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 14x - 10x - 4x > - 2 + 32 - 35\\ 1,2x - 4x \le 2,4 - 1,4 + 0,2 \end{array} \right.$

Упрощаем (можно было сначала привести подобные слагаемые, а потом уже переносить)

$\left\{ \begin{array}{l} 0x > - 5\\ - 2,8x \le 1,2\_\_\_\left| {:( - 2,8) < 0} \right. \end{array} \right.$

Первое неравенство верно при любом значении переменной. Решением системы неравенств является множество значений x, при которых верно каждое из неравенств. Так как для первого неравенства выполняется при любом значении x, решение системы совпадает с решением второго неравенства:

$\left\{ \begin{array}{l} 0x > - 5\\ - 2,8x \le 1,2 \end{array} \right. \Rightarrow - 2,8x \le 1,2$

Остается решить его. Для этого обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$- 2,8x \le 1,2\_\_\_\left| {:( - 2,8) < 0} \right.$

$x \ge \frac{{1,2}}{{ - 2,8}}$

$x \ge - \frac{{12}}{{28}}$

$x \ge - \frac{3}{7}$

Отмечаем решение неравенства на числовой прямой и записываем ответ

Ответ: x∈[-3/7;∞).

$2)\left\{ \begin{array}{l} 3x + 6 < 4(2x - 3) - 5(x - 1)\\ x(x - 3) - 1 > (x + 2)(x - 1) \end{array} \right.$

Раскрываем скобки

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 6 < 8x - 12 - 5x + 5\\ {x^2} - 3x - 1 > {x^2} - x + 2x - 2 \end{array} \right.$

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 8x + 5x < - 12 + 5 - 6\\ {x^2} - 3x - {x^2} + x - 2x > - 2 + 1 \end{array} \right.$

После упрощения получаем систему

$\left\{ \begin{array}{l} 0x < - 13\\ - 4x > - 1 \end{array} \right.$

Первое неравенство системы не имеет решений.

Решение системы представляет собой множество значений переменной, удовлетворяющих каждому из неравенств. Раз одно неравенство не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: x∈{Ø}.

$3)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{x}{2} - \frac{x}{3} \le \frac{x}{6}}\\ {2(x + 9) - 10 < 2(x + 4)} \end{array}} \right.$

В первом неравенстве обе части умножаем на наименьший общий знаменатель 6, во втором — раскрываем скобки:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^{\backslash 3}}}}{2} - \frac{{{x^{\backslash 2}}}}{3} \le \frac{{{x^{\backslash 1}}}}{6}\_\_\_\left| { \cdot 6 > 0} \right.\\ 2x + 18 - 10 < 2x + 8 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2x \le x\\ 2x + 18 - 10 < 2x + 8 \end{array} \right.$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x - 2x - x \le 0}\\ {2x - 2x > 8 - 18 + 10} \end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0x \le 0}\\ {0x > 0} \end{array}} \right.$

В первом неравенстве x — любое число, второе неравенство решений не имеет. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: x∈{Ø}.

Частные случаи систем линейных неравенств с одной переменной в алгебре встречаются не столь часто. Тем не менее, не стоит недооценивать их важность. Освоив приёмы решения таких систем на начальном этапе, вы в дальнейшем успешно справитесь с примерами, содержащие неравенства, не имеющие решений или имеющие бесконечное множество решений.

Добавить комментарий Отменить ответ