В уравнении сумма равна 0

Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

Таким образом, уравнение

${f_1}(x) + {f_2}(x) + ... + {f_n}(x) = 0,$

где

${f_1}(x) \ge 0;$

${f_2}(x) \ge 0;$

$...$

${f_n}(x) \ge 0$

равносильно системе уравнений

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {f_1}(x) = 0\\ {f_2}(x) = 0\\ ...\\ {f_n}(x) = 0. \end{array} \right.$

В частности,

$1){x^{2n}} \ge 0,$

$2)\sqrt[{2n}]{x} \ge 0,$

где 2n — чётное натуральное число

$3)\left| x \right| \ge 0$

$4)\arccos x \ge 0.$

Примеры уравнений, решение которых основано на этом свойстве функций.

$1)\left| {2{x^2} - 5x + 2} \right| + \left| {{x^2} - 4} \right| = 0$

ОДЗ: x∈R.

Сумма модулей равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {2{x^2} - 5x + 2} \right| = 0\\ \left| {{x^2} - 4} \right| = 0 \end{array} \right.$

Найдём корни каждого уравнения:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 2;{x_2} = 0,5;\\ {x_1} = 2;{x_2} = - 2. \end{array} \right.$

Оба модуля обращаются в нуль при x=2.

Ответ: 2.

$2)\sqrt {8 - 2x - {x^2}} + \sqrt {3x + 12} = 0$

ОДЗ: x∈[-4;2].

Сумма корней чётной степени равна нулю, если каждое из слагаемых рано нулю. Следовательно, это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {8 - 2x - {x^2}} = 0;\\ \sqrt {3x + 12} = 0. \end{array} \right.$

Решаем каждое уравнение:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 4;{x_2} = 2;\\ x = - 4. \end{array} \right.$

Оба слагаемых обращаются в нуль при x= -4.

Ответ: -4.

Для нахождения корней достаточно решить только одно из уравнений и проверить, удовлетворяют ли полученные корни остальным уравнениям системы.

$3)\left| {9x - {x^2}} \right| + \sqrt[4]{{{x^2} - 10x + 9}} + {(x - 9)^2} =$

$= 0$

ОДЗ: x∈(-∞; 1]U[9; ∞).

Сумма неотрицательных функций равна нулю, если каждая каждая из функций равна нулю:

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {9x - {x^2}} \right| = 0;\\ \sqrt[4]{{{x^2} - 10x + 9}} = 0;\\ {(x - 9)^2} = 0. \end{array} \right.$

Корень третьего уравнения — x=9 — удовлетворяет также 1-му и 2-му уравнениям системы.

Ответ: 9.

$4){\cos ^2}\frac{{\pi x}}{2} + \sqrt {1 - {x^2}} = 0$

ОДЗ: x∈[-1; 1].

Правая часть уравнений — сумма неотрицательных функций. Соответственно, уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {\cos ^2}\frac{{\pi x}}{2} = 0;\\ \sqrt {1 - {x^2}} = 0. \end{array} \right.$

Корни второго уравнения

$\sqrt {1 - {x^2}} = 0$

x=1 и x= -1. Оба корня удовлетворяют и первому уравнению.

Ответ: ±1.

Как в другие уравнения из курса алгебры, решаемые с применением свойств функций, уравнения, в которых сумма неотрицательных функций равна нулю, при первом рассмотрении могут производить впечатление сложных. На самом деле, решить их достаточно просто, если помнить соответствующий теоретический материал.

Добавить комментарий Отменить ответ